这次介绍一下 " 等比数列 " ，是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一组数列。
例如：1  2  4  8  16  32  64  128 ...... ，这样的数列就是等比数列。
等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1) ;     q是后一项与前一项的比值，是一个固定的值。
等比数列前n项和公式： Sn = n * a1   ( q = 1时) ;     Sn = a1 * ( 1 - q^n) / 1 - q ; ( q!=1 时) ;

    这次给大家介绍的是一个公式，叫做 " 连续奇数求和公式 "。
例如 1+3+5+7+9+......+n  。 我们可以用之前教过的等差数列前 n 项和公式来计算。
也可以用一个更简单的方法，如下图：

来看下这个图的规律，奇数求和其实最后组成的就是一个正方形，那么如果是5个奇数求和。其结果就是5的平方。
是不是很简单呢，但目前这个规律仅限于从1开始的连续奇数求和。

       这次介绍的是 " 孪生素数 " ， 是指一对素数，他们之间的差是2。
例如：3和5 ， 5和7 ，7和11 ， 11和13 ......
孪生素数的定义非常简单，看看你可以找到多少个这种孪生素数对。

       这次要介绍的是数学中的 " 等差数列 " 。
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等差数列的公差，用字母d表示。
例如：1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  ......  n  ， 这样的一组数列就叫做等差数列。
那么如何求等差数列的第n项呢？
an = a1 + ( n - 1 ) * d ； 这个就是等差数列求第n项的公式。
那么如何求前 n 项的和呢？
Sn = n * a1 + n * (n-1 ) / 2 * d ;
我们只要学会使用公式来解题就可以了，不要求对公式进行推导。

       这次要将的是 " 高斯定理 "，先说一下高斯这位科学家，他在很多领域都非常的出色，他一生发现了许多定理，并且应用于各个领域。
我们今天学习他的一个最简单的定理：连续的n个整数相加的和 。什么意思呢？咱们举例说明。
例如1+2+3+4+5+6+7+......+100，这样连续的100个数相加的和是多少呢？高斯定理告诉我们：(首项+尾项) * 项数 / 2。 
那就是：(1+100) * 100 /2 =5050 ， 所以和就是5050 。
这个就是高斯定理的一个最简单的数学应用。同样也可以用等差数列前n项和公式来解答这个问题。

       这次要介绍的是 " 可逆素数 " ，是指一个素数的各位数值顺序颠倒后得到的数仍为素数。
例如：数字133，颠倒后是331，原数和颠倒后的数都是素数，这样的数就叫做可逆素数。
这个证明方法很简单，用拆位法可以求出颠倒后的数，然后进行质数判断就可以了。

       上次我们介绍了什么是指数幂，这次我们说一下他的运算吧。
①同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 x^3 * x^5 = x^(3+5) = x^8 
②同底数幂相除，底数不变，指数相减。 x^7 / x^5 = x^(7-5) = x^2 
③幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (x^7)^5 = x^(7*5) = x^35
这些运算都是我们学习指数幂必须掌握的！

       今天要介绍的是 " 卡普雷卡尔黑洞 " ，又叫 " 6174数字黑洞 "  。
它是指任意一个不完全相同的4位数，将组成该数的4个数字由大到小排列组成一个最大数，再从小到大排列组成一个最小数。
用最大数减去最小数得到一个差值，再对其进行前面的步骤，最终一定会变成6174。
例如：四位数8028。最大的重组数为8820，最小为0288，两者差为8532。重复上述过程得到8532-2358=6174 。
我们之后也会用程序来展示变化过程。

       今天要说的大名鼎鼎的 " 斐波那契数列 " ，这是一组有规律的数的集合。日常应用相当广泛。
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、由数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……  (从数列的第三项开始，每一项的数值都是前两项的和)
在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）
我们日常见到的黄金分割点、斐波那契曲线，螺旋曲线，埃菲尔铁塔等等都是利用了这个数列的性质。

       今天要介绍的数学知识是 " 指数幂 " ，对于低年级的同学可能有些难度。
在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记做a^n   。
这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a^n中,a叫做底数,n叫做指数。a^n读作 " a的n次方 " 或 " a的n次幂 "。
例如，5就是5^1，指数1通常省略不写。二次方也叫做平方，如5^2通常读做”5的平方“；三次方也叫做立方，如5^3可读做”5的立方“。
下次我们会讲解指数幂的运算。

       这次介绍定理是 " 尼科彻斯定理 " ，它是指任意一个自然数的立方都可以表示成一串连续奇数的和。
什么意思呢？ 例如：自然数4 ， 4^3 = 64 ， 那么连续奇数的和 13 + 15 + 17 +19 = 64 。
这个定理对任意自然数都是成立的。编程中我们可以用枚举法来证明。

       这次介绍的是 " 回文素数 " ，也叫回文质数。我们之前讲过 " 回文数 " ，那么回文素数又是什么呢？
回文素数是指对一个整数n（n≥11）从左向右和从右向左读其结果值相同并且是素数。
这个的证明就要比回文数的证明多一个步骤了，要先证明给定的数字是否为素数，再证明是否为回文数。(证明顺序可以调换)
在回文素数中还有一个有趣的现象，偶数位中只有11是回文素数，其他偶数位(比如4位、6位、8位)的数都不存在回文素数。
因为其他偶数位的数都可以被11整除。是不是非常有趣。

       这次的介绍的初等数学知识稍微有点难理解，"带余数的除法" ， 也叫带余除法或除法算法。
带余除法主要包括整数的带余除法和多项式的带余除法。公式：被除数=除数×商+余数 。
整数的带余除法定理为：对于任意的a,b(设a≥b且b≠0)，存在唯一的商q和余数r 使得a=bq+r。
这个定理对于我们将一个多位数拆分非常重要。

       今天讲的是 " 四方定理 " ， 这个定理的内容非常的简单，是指所有自然数至多只要用四个数的平方和就可以表示。
这句话是什么意思呢？举例解释一下：比如 765 这个数，它可以通过16^2+14^2+13^2+12^2组成。
我们在编程中通常用枚举法来计算一个自然数是由那几个数组成的，不过枚举法的时间复杂度太高了。

       这次介绍的是 " 亲密数 " 。 有2个自然a和b，如果a的所有正因子和等于b，b的所有正因子和等于a，因子包括1但不包括本身，且a不等于b，则称a，b为亲密数对。
在编程中，一般运用枚举法寻找亲密数。
先算出自然数a的因数之和，将其作为自然数b，再计算自然数b的因数之和，用它和自然数a进行比较，如果两者相等，则a和b是亲密数。

       在介绍 " 最小公倍数 " 之前，我要先介绍什么是 " 公倍数 " ，公倍数是两个或多个整数共有的倍数。
其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。
最小公倍数特点：倍数的只有最小的没有最大，因为两个数的倍数可以无穷大。

      这次介绍的是" 勾股定理 " ，一个基本的几何定理，因为好多低年级同学没有学过这个定理，所以我写一下这个定理的内容。
" 勾股定理 " 是指一个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。(如下图)

    

a^2 + b^2 = c^2                   

我们在日常应用中，勾股定理一般作为证明一个三角形是否是直角三角形。

      这次介绍的有趣数字是 " 完全数 " ，也叫 " 完美数 "、" 完备数 " 。
他的定义是：如果一个自然数恰好等于除去他本身之外所有约数之和，这种数就叫做 " 完全数 " 。
例如：自然数6，它的约数是1、2、3，这3个约数之和也是6，那么6就是一个完全数。
第一个完全数就是6，第二个是28，第三个是496，当然后面还有很多呢。我们也可以用程序计算出出更多的完全数。
还有一个关于完全数的小故事，古希腊数学家毕达哥斯拉是最早研究完全数的人，他当时已经发现6和28是完全数了，
他还说：" 6象征着完美的婚姻、健康和美丽，因为它的部分是完整的，而且其和也等于自身 " 。

    这次要介绍的是 " 最大公约数 " ，也叫 " 最大公因数 " ，指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
例如：24 和 16 ， 他们可以同时被8、4、2整除，其中最的约数是8 ，所以8就是他们的最大公约数。
我们通常可以用因式分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法来求" 最大公约数 " 。
后面的课程中我们也会用编程来计算多个数的 " 最大公约数 "。

      这次要讲的还是一个数字黑洞，叫做 " 圣经数 " ，又被称作"153数字黑洞"，153是1~17连续自然数的和，即：1+2+3+……+17=153。
任写一个3的倍数的数，把各位数字的立方相加，得出和，再把和的各位数字立方后相加，如此反复进行，最后必然出现 " 圣经数 " ，也就是153。
例如：69是3的倍数，按照"圣经数"的规则，变换过程如下：
6^3 + 9^3 =945 ，9^3 + 4^3 + 5^3 = 918 , 9^3 + 1^3 +8^3 = 1242 , 1^3 + 2^3 + 4^3 + 2^3 = 81 , 8^3 + 1^3 = 513 , 5^3 + 1^3 + 3^3 =153 。
只要是3的倍数的自然数，都可以通过这个规则，最后变成153。是不是非常有趣呢，我们也会用程序来演示这个变换过程。

      这次介绍的是 " 回文数 " ，在介绍回文数之前，先说下什么是回文？"回文"是指正读反读都能读通的句子。
在数学中也有这种正着读和反着读都是样的数字，我们就叫做 " 回文数 " 。
例如： 1221 ， 123456654321 ， 98765432123456789  等等。
要注意的是，偶数和奇数都有回文数，但是小数没有回文数。

        这次给同学们介绍的是 " 质数 "，又叫做 " 素数 "。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数。
例如：2 、3、5、7、11、17...... ，这样的数都是质数。
质数的个数是无穷的。

        今天给大家介绍的叫 "西西弗斯黑洞" ，听起来这个名字好恐怖的样子，但是在数学中有着非常非常多这样的数字黑洞，它们存在一定的规律，最后都会回归到一个固定的数字。
" 西西弗斯黑洞 " 就是对任意数字串按某种规律重复进行，最后得到的结果都是 "123" ， 所以 " 西西弗斯数字黑洞 " 也叫 " 123数字黑洞 "。
它的规律就是，任意取一个自然数，求出它所含偶数的个数、奇数的个数和这个数的位数，将这3个数按照 " 偶 - 奇 - 总 " 的顺序排列得到一个新数。
对这个新数重复前面的做法，最终结果必然得到 123 。
例如：1234567890,该数中包含5个偶数，5个奇数，该数的位数是10。
然后将这3个数按" 偶 - 奇 - 总"的顺序排列得到一个新数：5510。
接着将新数5510按以上规则重复进行，又得到新数：134。
再对134按以上规则重复进行，最终得到数字：123。
        " 西西弗斯黑洞 " 这个名字是从希腊神话中得来的。无论给出的自然数是多少位的，通过这个规律，最终都会得到 123 ，同学们你们可以自己验证一下。

       这次要给大家介绍一个名字非常霸气的数——"雷劈数"， 那什么是雷劈数呢？
一个偶数位的正整数X从中间分割为二组数字，而这二组数字相加后平方的值等于原数X，那么它就是雷劈数。
例如3025，将它分成30和25 ，相加后平方的值就是 55^2=3025，这个结果与原数相同，那么3025就是一个雷劈数。
雷劈数还有一个有趣的传说，印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半写着25。
这时，他忽然发现30+25=55，55^2=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。
所以 "雷劈数" 也叫 "卡普列加数" 。

       上一次我们介绍了自然数N，也就是正整数。那么如果正整数、0和负整数组合起来的集合又叫什么呢？没错，就是整数。
我们通常用大写字母Z来表示。
关于整数我们要学习一个整除的性质。(数学中我们通常用 " | "表示整除)
a，b都是整数.
① a|b <==> -a|b <==> a|-b <==> |a| | |b| .
② a|b 且 b|c ==> a|c .
③ a|b 且 b|a ==> b = ±a .

      第一个我们要介绍的猜想是："冰雹猜想"。它是指一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就直接除以2，
得到的结果按照上面执行若干次，最终的结果是1。
无论多么大的数字，都遵循这个规律。当x是偶数时，我们很容易想到一直除以2可以得到1；
但是x是奇数的时候，中间的过程就异常复杂了，我们后面会在编程中来实现这个猜想。
最后要说明一点，"冰雹猜想"又叫"角谷猜想"，因为是一个叫做角谷的日本人把它传到中国的。
特别注意：在正整数中，"27" 这个数的是很强悍的，它需要进行111步才可以回归到1 (没有想到吧！)。我们会在while循环的课程中证明。

        第一个我给大家的介绍是 "水仙花数" ， "水仙花数" 是一个 3 位数，它的每个位上数字的 3次幂之和等于它本身
（例如：数字153，它每个位上的数字的3次幂之和是：1^3 + 5^3+ 3^3 = 153）。
"水仙花数"（Narcissistic number）也被称为超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数。
三位的"水仙花数"共有4个：153，370，371，407；我们以后会通过程序寻找"水仙花数"。
还有四位、五位、六位、七位的这种自幂数，他们分别有不同的名字。
四位自幂数叫做"四叶玫瑰数"，五位自幂数叫做"五角星数"，六位自幂数叫做"六合数"，七位自幂数叫做"北斗七星数"，八位自幂数叫做"八仙数"。

1、什么叫做自然数？
答：在数学中自然数也叫做正整数。就是大家熟悉的 " 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ......  n , n+1 "等。通常用大写字母N表示。
2、自然数中加法运算和乘法运算的三大定律。
答：①结合律：(a+b)+c = a+(b+c) ;  (a*b)*c = a*(b*c) ;
       ②交换律：a+b = b+a ; a*b = b*a ;
       ③相消律：a+b = a+c ==> b=c ;  a*b = a *c ==> b=c  (a!=0) ;
这些定律中的数一定要是自然数，也就是正整数时才成立。

大家好，这是刚刚建立的NOIP在线做题系统。题目会慢慢完善，请同学们跟着上课进度完成题目。